BUKTI-BUKTI MATEMATIKA

 

Bukti matematika adalah serangkaian argumen logis yang menjelaskan kebenaran suatu pernyataan. Argumen-argumen ini dapat berasal dari premis pernyataan itu sendiri, teorema-teorema lainnya, definisi, dan dapat berasal dari postulat dimana sistem matematika tersebut berasal. Pentingnya bukti matematika  yaitu untuk meyakinkan bahwa apa yang selama ini dianggap benar adalah memang benar.

Pythagoras dianggap sebagai penemu bukti matematika untuk yang pertama kali. Ia dipercaya sebagai orang pertama yang melakukan pembuktian terhadap teorema pythagoras. Sebenarnya, teorema Pythagoras telah lama ada. Bahkan orang Babilonia dan Cina telah lebih dulu mengenal isi dalam teorema ini, hanya saja tidak ada bukti yang cukup kuat apakah mereka telah malakukan pembuktian terhadap teorema ini. Teorema Pythagoras memainkan peran yang sangat signifikan dalam berbagai bidang yang berkaitan dengan matematika. Misalnya, untuk membentuk dasar trigonometri dan bentuk aritmatika, di mana bentuk ini menggabungkan geometri dan aljabar. Secara matematis, teorema ini biasanya ditulis sebagai : a² + b² = c² , dimana a dan b mewakili panjang dari dua sisi lain dari segitiga siku-siku dan c mewakili panjang dari hipotenusanya (sisi miring).

Seiring waktu, banyak ide-ide lainnya yang dikembangkan dalam bentuk geometris, dan akhirnya dikumpulkan dan disusun dalam Buku tiga belas oleh Euclid (325-263 SM) dalam apa yang disebutnya "Elemen Matematika". Euclid telah merevolusikan bukti matematika dengan memperkenalkan metode aksiomatik dan hal ini masih digunakan sampai sekarang. Metode aksiomatik ini menggunakan istilah definisi dan aksioma untuk membuktikan suatu teorema menggunakan cara berpikir dengan logika deduktif.  Kemajuan lebih lanjut terjadi di matematika islam pada abad pertengahan. Matematikawan islam berhasil mengembangkan aljabar dan aritmatika dengan memperoleh bukti-bukti yang lebih umum lagi dan tidak tergantung pada geometri.  Pada abad 10 sebelum masehi, matematikawan Irak Al-Hashimi memberikan bukti umum adanya barisan dalam angka. Bukti induktif untuk urutan aritmatika diperkenalkan di Al-Fakhri oleh Al-Karaji, yang menggunakannya untuk membuktikan teori binomial dan sifat segitiga Pascal. Alhazen juga mengembangkan metode bukti kontradiksi, sebagai usaha pertama untuk membuktikan dalil parallel Euclid. Perkembangan selanjutnya, teori bukti modern mendefinisikan bukti sebagai struktur data induktif. Tidak ada asumsi lagi bahwa aksioma adalah “benar” dalam arti apapun, sehingga ini memungkinkan untuk teori matematika parallel dibangun di set alternatif aksioma. Perkembangan bukti pada abad 19 dan 20-an, bukti menjadi bagian penting dari matemtatika. Dengan peningkatan daya komputasi pada tahun 1960, mulai dilakukan penyelidikan objek matematika di luar kerangka bukti-teorema, dalam matematika eksperimental, sehingga muncul perkembangan awal geometri fractal.

Metode pembuktian :

1.      Bukti langsung : membuktikan suatu implikasi (A→ B) dengan asumsi pada hipotesis A itu benar dan kemudian mebuktikan kesimpulan B itu benar.

2.      Bukti tak langsung : membuktikan suatu implikasi (A→B) dengan membuat negasi dari konklusinya sedemikian rupa sehingga kombinasi antara premis-premis dan penyangkalan konklusinya memperoleh sebuah kontradiksi.

3.      Pembuktian kontradiksi : menunjukkan bahwa jika beberapa pernyataan salah, sebuah kontradiksi logika terjadi, karena itu pernyataan harus benar.

4.      Pembuktian induksi : membuktikan teorema itu benar disuatu kejadian tertentu kemudian membuktikan kejadian selanjutnya juga benar

5.      Kontraposisi : membuktikan sebuah implikasi (A→B) dengan asumsi pada kesimpulan B salah atau kemudian menentukan hipotesis itu juga salah.

Contoh bukti dengan induksi matematika

Induksi matematika tidak sama dengan induksi dalam logika, meskipun konsep umunya saling terkait. Dalam bukti induksi matematika, sebuah kasus dasar tunggal terbukti, dan aturan induksi terbukti, sehinnga dapat ditetapkan bahwa jika kasus tertentu adalah benar, maka kasus lain adalah benar.

Misalkan U={1,2,3,4,…} adalah himpunan bilangan asli dengan P(n) merupakan peryataan matematis yang melibatkan bilangan asli n milik N sedemikian sehingga

I.                    P(1) benar, yaitu P(n) bernilai benar untuk n=1

II.                 P(n+1) benar setiap kali P(n) benar, yaitu P(n) benar menyiratkan bahwa P(n+1) adalah benar

Maka P(n) benar untuk semua bilanga asli n.

Dari waktu ke waktu, teori bukti matematika semakin berkembang dan sampai saat ini teori bukti tersebut masih digunakan.