BUKTI-BUKTI MATEMATIKA

 

Bukti matematika adalah serangkaian argumen logis yang menjelaskan kebenaran suatu pernyataan. Argumen-argumen ini dapat berasal dari premis pernyataan itu sendiri, teorema-teorema lainnya, definisi, dan dapat berasal dari postulat dimana sistem matematika tersebut berasal. Pentingnya bukti matematika  yaitu untuk meyakinkan bahwa apa yang selama ini dianggap benar adalah memang benar.

Pythagoras dianggap sebagai penemu bukti matematika untuk yang pertama kali. Ia dipercaya sebagai orang pertama yang melakukan pembuktian terhadap teorema pythagoras. Sebenarnya, teorema Pythagoras telah lama ada. Bahkan orang Babilonia dan Cina telah lebih dulu mengenal isi dalam teorema ini, hanya saja tidak ada bukti yang cukup kuat apakah mereka telah malakukan pembuktian terhadap teorema ini. Teorema Pythagoras memainkan peran yang sangat signifikan dalam berbagai bidang yang berkaitan dengan matematika. Misalnya, untuk membentuk dasar trigonometri dan bentuk aritmatika, di mana bentuk ini menggabungkan geometri dan aljabar. Secara matematis, teorema ini biasanya ditulis sebagai : a² + b² = c² , dimana a dan b mewakili panjang dari dua sisi lain dari segitiga siku-siku dan c mewakili panjang dari hipotenusanya (sisi miring).

Seiring waktu, banyak ide-ide lainnya yang dikembangkan dalam bentuk geometris, dan akhirnya dikumpulkan dan disusun dalam Buku tiga belas oleh Euclid (325-263 SM) dalam apa yang disebutnya "Elemen Matematika". Euclid telah merevolusikan bukti matematika dengan memperkenalkan metode aksiomatik dan hal ini masih digunakan sampai sekarang. Metode aksiomatik ini menggunakan istilah definisi dan aksioma untuk membuktikan suatu teorema menggunakan cara berpikir dengan logika deduktif.  Kemajuan lebih lanjut terjadi di matematika islam pada abad pertengahan. Matematikawan islam berhasil mengembangkan aljabar dan aritmatika dengan memperoleh bukti-bukti yang lebih umum lagi dan tidak tergantung pada geometri.  Pada abad 10 sebelum masehi, matematikawan Irak Al-Hashimi memberikan bukti umum adanya barisan dalam angka. Bukti induktif untuk urutan aritmatika diperkenalkan di Al-Fakhri oleh Al-Karaji, yang menggunakannya untuk membuktikan teori binomial dan sifat segitiga Pascal. Alhazen juga mengembangkan metode bukti kontradiksi, sebagai usaha pertama untuk membuktikan dalil parallel Euclid. Perkembangan selanjutnya, teori bukti modern mendefinisikan bukti sebagai struktur data induktif. Tidak ada asumsi lagi bahwa aksioma adalah “benar” dalam arti apapun, sehingga ini memungkinkan untuk teori matematika parallel dibangun di set alternatif aksioma. Perkembangan bukti pada abad 19 dan 20-an, bukti menjadi bagian penting dari matemtatika. Dengan peningkatan daya komputasi pada tahun 1960, mulai dilakukan penyelidikan objek matematika di luar kerangka bukti-teorema, dalam matematika eksperimental, sehingga muncul perkembangan awal geometri fractal.

Metode pembuktian :

1.      Bukti langsung : membuktikan suatu implikasi (A→ B) dengan asumsi pada hipotesis A itu benar dan kemudian mebuktikan kesimpulan B itu benar.

2.      Bukti tak langsung : membuktikan suatu implikasi (A→B) dengan membuat negasi dari konklusinya sedemikian rupa sehingga kombinasi antara premis-premis dan penyangkalan konklusinya memperoleh sebuah kontradiksi.

3.      Pembuktian kontradiksi : menunjukkan bahwa jika beberapa pernyataan salah, sebuah kontradiksi logika terjadi, karena itu pernyataan harus benar.

4.      Pembuktian induksi : membuktikan teorema itu benar disuatu kejadian tertentu kemudian membuktikan kejadian selanjutnya juga benar

5.      Kontraposisi : membuktikan sebuah implikasi (A→B) dengan asumsi pada kesimpulan B salah atau kemudian menentukan hipotesis itu juga salah.

Contoh bukti dengan induksi matematika

Induksi matematika tidak sama dengan induksi dalam logika, meskipun konsep umunya saling terkait. Dalam bukti induksi matematika, sebuah kasus dasar tunggal terbukti, dan aturan induksi terbukti, sehinnga dapat ditetapkan bahwa jika kasus tertentu adalah benar, maka kasus lain adalah benar.

Misalkan U={1,2,3,4,…} adalah himpunan bilangan asli dengan P(n) merupakan peryataan matematis yang melibatkan bilangan asli n milik N sedemikian sehingga

I.                    P(1) benar, yaitu P(n) bernilai benar untuk n=1

II.                 P(n+1) benar setiap kali P(n) benar, yaitu P(n) benar menyiratkan bahwa P(n+1) adalah benar

Maka P(n) benar untuk semua bilanga asli n.

Dari waktu ke waktu, teori bukti matematika semakin berkembang dan sampai saat ini teori bukti tersebut masih digunakan. 

MATEMATIKA DALAM RUANG DAN WAKTU

Matematika merupakan proses berpikir manusia tentang pengalaman permasalahan yang ditemui dan dipecahkan, yang kemudian pengalaman pemecahan masalah tersebut menjadi suatu yang terkonstruksi sebagai suatu konsep matematika yang kemudian dapat digunakan sebagai alat pemecahan masalah yang sama atau yang baru. Matematika itu tidak dapat dikatakan hanya sebagai ilmu, ia memiliki bagiannya sendiri-sendiri. Seperempat dari matematika adalah struktur, seperempat bagian yang lainnya adalah kreativitas, dan seperempat bagian lainnya adalah proses. Matematika selalu ada dalam kehidupan manusia. Matematika hidup dan tumbuh bersama manusia. Dimana ada manusia, maka disitulah keberadaan matematika. Bahkan sejak zaman Nabi Adam diturunkan ke bumi, ia juga telah menggunakan matematika karena saat itu pastilah Nabi Adam mampu menghitung jumlah anaknya. Dari menghitung jumlah anak ini dapat diketahui bahwa matematika sudah digunakan Nabi Adam kala itu. Matematika akan selalu ada sampai akhir zaman.

Matematika tidak bergantung terhadap perubahan ruang dan waktu. Waktu merupakan separuh dari kehidupan. Bila waktu dihilangkan, masa lalu, masa sekarang, dan masa yang akan datang akan melebur menjadi satu dan ini berarti tidak aka nada kehidupan. Separuh kehidupan yang lain adalah ruang. Jika didunia ini tidak ada ruang, maka kehidupan juga tidak dapat berlangsung. Seorang matematikawan harusnya mampu untuk bereksperimen dalam ruang dan waktu. Namun, manusia adalah tempatnya kelemahan dan kekurangan karena kesempurnaan dan ketelitian hanyalah milik Tuhan semata. Ruang matematika bersasngkutan dengan titik-titik, garis-garis serta definisi-definisi ruang yang tidak mengacu pada alam objektif. Seorang ahli matematika menyelidiki satuan-satuan yang adanya hanya dalam pikiran. Ruang matematik merupakan ciptaan ahli matematika, ruang objektif sebagai ruang di suatu tempat tertentu, sedangkan hasil cerapan merupakan ruang yang kita cerap. Matematika dapat menciptakan ruang yang berhingga dan tidak berhingga. Terdapat berbagai bentuk waktu yaitu waktu objektif, waktu matematik, waktu mutlak, dan waktu relatif. Waktu objektif dalam arti berada di luar diri manusia sebagai realitas tersendiri Waktu matematik adalah waktu yang dipandang sebagai matra atau ukuran dari gerak atau waktu yang terukur. Waktu mutlak adalah waktu yang keberadaannya ditentukan atau terpengaruh oleh keberadaan yang lain.

Menurut Plato, idealisasi matematika berarti menganggap bahwa matematika itu adalah sempurna. Sedanglan abstraksi adalah matematika yang berdasarkan pikiran kita. Ada beberapa jenis matematika, yaitu :

·         Matematika formal (matematika yang dipelajari mahasiswa)

·         Model formal (matematika yang dipelajari di SMA)

·         Model konkrit (matematika yang dipelajari di SMP)

·         Matematika konkret (matematika yang dipelajari di SD).

Matematika diluar pikiran maupun didalam pikiran yang banyaknya hanya satu disebut sifat monoisme, sedangkan yang jumlahnya banyak disebut pluralisme. Antifoundalisme adalah percaya pada sesuatu tetapi tidak tahu apa dasrnya atau tidak tahu mengapa hal itu dapat terjadi. Tokoh dari antifoundalisme ini adalah Brouwer. Foundationalisme berkebalikan dengan antifoundalisme, yaitu percaya pada teorema dan bukti-bukti. Jadi jika tidak ada teori atau bukti yang kuat untuk menjelaskan sesuatu, orang beraliran foundalisme tidak akan mempercayai pada suatu hal. Emanuel Kant mengatakan bahwa matematika merupakan gabungan dari pikiran dan pengalaman, atau syntetic apriori. 

ABSTRAKSI MATEMATIKA

Nama   : Rakhmatika Sri Wardhani

NIM    : 10305144046

Semua orang setuju bahwa matematika merupakan suatu hal yang abstrak. Matematika sendiri terdiri dari konsep-konsep dan abstraksi yang saling berhubungan satu sama lain. Sayangnya, walaupun abstraksi banyak digunakan dalam matematika namun abstraksi sendiri kurang dipahami. Abstraksi dalam matematika adalah proses untuk memperoleh intisari konsep matematika, menghilangkan kebergantungannya pada objek-objek dunia nyata yang pada mulanya mungkin saling terkait, dan memperumumkannya sehingga ia memiliki terapan-terapan yang lebih luas atau bersesuaian dengan penjelasan abstrak lain untuk gejala yang setara. Bidang-bidang matematika dimulai dari pemahaman peristiwa yang ada dalam kehidupan nyata yang kemudian dibawa ke dalam bentuk abstrak sehingga hal nyata tadi dapat diwujudkan dalam konsep matematika. Misalnya saja goemetri yang berawal dari pengukuran, statistika yang berawal dari permainan judi, dan aljabar yang berwal dari permasalahan perhitungan.

Dengan mempelajari sejarah matematika, sedikit demi sedikit kita mulai mengetahui sejarah perkembangan matematika itu sendiri. Dimana dalam setiap proses penemuan ide-ide matematika, para ilmuwan matematika tidak pernah lepas dari abstraksi yang melingkupi kehidupan masyarakat kala itu. Matematika merupakan ilmu imajinasi manusia atau hasil pemikiran manusia namun keberadaanya tidak terlepas dari kehidupan nyata. Abstraksi pada matematika telah berkembang sangat pesat pada pertengahan abad XX. Abstraksi matematika juga berkaitan dengan generalisasi ( proses penarikan kesimpulan dimulai dengan memeriksa keadaan khusus menuju kesimpulan umum ). Dengan abstraksi dan generalisasi maka munculah matematika formal seperti yang kita kenal selama ini.

Sifat dari setiap teori matematika sangat ditentukan oleh sifat dari abstraksi matematika yang perumusan konsep-konsep dasar dari teori ini didasarkan. Analisis abstraksi tersebut adalah salah satu tugas utama dari dasar matematika. Abstraksi bermanfaat untuk menyibak keterkaitan yang mendalam diantara cabang-cabang matematika, untuk mengetahui hasil-hasil di dalam satu cabang yang dapat memicu konjektur pada cabang yang berkaitan, untuk mengetahui teknik dan metode dari satu cabang kemudian diterapkan untuk membuktikan  hasil pada cabang yang berkaitan.

Keuntungan abstraksi yaitu dengan abstraksi berarti menunjukkan hubungan  yang mendalam antara berbagai bidang matematika, hasil abstraksi yang diperoleh dalam suatu bidang dapat menjadi prediksi untuk hasil di bidang yang lain, dapat dijadikan tehnik bukti untuk bidang yang terkait. Kerugian utama abstraksi adalah terkadang suatu konsep menjadi lebih sulit untuk dipahami ketika berupa pemahaman abstrak, sehingga diperlukan pengalaman dan pemahaman yang mendalam dalam hal matematika untuk memahami abstraksi tersebut. Namun, dengan pemahaman akan matematika yang tinggi akan memberikan kemampuan yang tinggi dalam hal abstraksi, sehingga matematika dapat berfungsi untuk mengkaji peristiwa-peristiwa di alam sekitar sehingga dapat dikembangkan menjadi teknologi untuk kesejahteraan umat manusia.

THE GENIUS OF THE EAST

Nama      : Rakhmatika S. W

NIM       : 10305144046

Matematika telah ada sejak ribuan bahkan puluhan ribu tahun SM. Dalam setiap masanya semakin banyak saja nama-nama matematikawan yang muncul yang berhasil menemukan cabang ilmu matematika itu sendiri, mulai dari zaman Mesir Kuno, Mesopotamia, Yunani Kuno hingga saat ini perkembangan ilmu matematika kian lama makin maju dan modern. Tidak mudah bagi para matematikawan untuk menemukan satu jenis penemuan, butuh waktu yang raltif lama bagi mereka agar penemuan mereka tidak hanya sekedar omongan, tapi nutuh pembuktian yang valit agar hasil penemuan mereka dapat dipertanggung jawabkan dimata dunia. Dengan kecerdasan yang mereka miliki tentunya akan memudahkan cara pola piker mereka akan matematika. Prof. Marcus Du Sautoy merupakan seorang matematika professor dari Oxford University yang melakukan flashback terhadap sejarah perkembangna matematika.

Matematika telah menjadi pusat kehidupan manusia. Matematika digunakan mulai dari pengukuran, navigasi, dan hal lain yang digunakan untuk kepentinagn teknologi pastinya juga menggunakan matematika. Perjalanan matematika dimulai dari budaya Mesir Kuno, Mesopotamia, dan budaya Yunani Kuno. Perkembangan matematika Timur yang dinamis mampu mengubah dunia Barat bangkit  dan berkembang hingga muncul istilah matematika modern seperti yang kita kenal selam ini. Tembok besar Cina merupakan prestasi besar di bidang amtematika. Tembok Besar Cina yang membentang ribuan mil memerlukan waktu hamper 2000 tahun dalam pembangunannya. Pembuatannya dimulai pada 220 SM untuk melindungi kekaisaran Cina saat itu. Dalam pembuatannya, orang Cina Kuno menyadari betapa pentingnya berbagai teknik perhitungan jarak, sudut elevasi dan jumlah material yang dibutuhkan. Jadi memang  butuh kecerdasan intelektual luar biasa untuk membangun tembok ini. Cina Kuno telah menggunakan sistem bilangan yang sangat sederhana untuk melakukan perhitungan. Mereka menggunakan batang bamboo kecil yang disusun untuk mewakili nomor satu sampai  sembilan. Cara perhitungan Cina Kuno sanagt mirip dengan cara kita belajar perhitungan disekolah saat ini. Cina Kuno juga telah menggunakan sistem nilai decimal, mereka telah menggunkannya 1000 tahun sebelum kita mengadopsinya dari Barat. Namun sayangnya, Cina Kuno belum mengenal angka nol, mereka akan hanya menggunakan ruang kosong sebagai pengganti angka nol. Sejak zaman dahulu hingga sekarang, orang Cine percaya bahwa adanya kekuatan mistik dalam setiap angka. Jumlah empat harus selalu dihindari sedangkan nagka delapan membawa keberuntungan. Cina Kuno juga tertarik dengan pola-pola dalam jumlah bilangan sehingga muncul istilah persegia ajaib atau yang kita kenal saat ini sudoku. Matematika memegang peranan penting dalam menjalankan pengadilan kaisar. Segala sesuatu dalam hidup kaisar diatur oleh kalender, sedangkan kalender itu sendiri ada berdasarkan perhitungan astronomis para matematikawan istana. Matematikawan istana juga telah menyadari adanya deret perhitungan saat itu. Untuk menyelesaikan permasalahan seperti perdagangan, pembayaran upah dan pajak diperlukan suatu persamaan yang dapat membantu perhitungan penyelesaian persamaan. Carl Friedrich Gauss berhasil menemukan kembali metode perhitungan untuk mencari persamaan seperti yang telah dilakukan oran Cina Kuno. Seorang kaisar Cina yang bernama Qin Jiushao menggunakan semua yang diketahuinya untuk meghasilkan persamaan kubik. Cina merupakan negara yang memiliki banyak tradisi matematika yang mapu mengubah wajah matematika untuk selamanya.

India juga merupakan negara yang mempunyai pengaruh terhadap perkembangan matematika melalui sistem penomoran. India telah menemukan Sembilan digit angka yang digunakan hingga saat ini. Penemuan angka nol di India, pertama kalidi dinding candi kecil di benteng dari Gwalior India Tengah. Angka nol, sebelmnya belum pernah muncul di zaman, Mesir, Yunani Kuno, Mesopotamia,dll. Namun melaui penemuan bersejarah ini menjadi bukti bahwa angka nol muncul pertama kalinya di India. Ide dan simbol bahwa orang India menggunakan untuk nol berasal dari perhitungan yang mereka lakukan batu di pasir. Ketika batu-batu itu dikeluarkan dari perhitungan, lubang kecil bundar yang tersisa di tempatnya, mewakili gerakan dari sesuatu untuk apa-apa. Tapi mungkin ada juga alasan budaya untuk penemuan nol. Brahmagupta matematikawan brilian India membuktikan beberapa sifat penting dari nol. Brahmagupta aturan tentang perhitungan dengan nol diajarkan di sekolah-sekolah di seluruh dunia sampai hari ini. Satu ditambah nol sama dengan satu. Minus satu nol sama dengan satu. Suatu kali nol sama dengan nol. Tetapi Brahmagupta mengalami kesulitan ketika ia mencoba membagi satu terhadap nol. Seorang matematikawan abad ke-12 India, yaitu Bhaskara II melakukan pengujian pembagian terhadap beberapa bilangan menggunakan buah. Ia mendapatkan potongan lebih dan lebih, sehingga pada akhirnya ketika ia membagidengan nol maka hasilnya tak terhingga. Jadi untuk Bhaskara, salah satu angka bila dibagi dengan nol maka hasilnya adalah tak hingga. Saat seseorang mempunyai hutang berarti saat itu orang tersebut tidak mempunyai apa-apa, Brahmagupta menyebut hal ini negatif sehingga bisa dikatakan bahwa penemu bilangan negatif adalah Brahmagupta. Brahmagupta berfikir lebih jauh tentang pemecahan persamaan kuadrat dengan dua variable. Matematikwan India bertanggung jawab membuat penemuan baru yang mendasar dalam teori trigonometri. Dalam trigonometri, kita dapat menggunakan segitiga siku-siku untuk untuk menemukan rasio dari sisi berlawanan dengan sisi terpanjang. Para astronom India bisa menggunakan trigonometri untuk bekerja di luar jarak relatif antara bumi dan bulan dan Bumi dan Matahari. Kita hanya data membuat perhitungan saat bulan setengah penuh, karena ketika itutepat diseberang matahari, sehingga matahari, bulan, dan bumi membuat segitiga siku-siku. Pi adalah rasio keliling lingkaran tehadap diameternya. Selam berabad-abad matematikawan mencari nilai yang tepat untuk pi.  dan matematikawan bernama Aryabhata memberikan perkiraan yang sangat akurat untuk pi, yaitu 3,1416. Kemudian dia melanjutkannya untuk mengukur keliling bumi, dan ia mendapatkannya 24,835 mil, yang luar biasa hanya 70 mil jauhnya dari nilai sebenarnya.

Pada abad ke-7, sebuah kerajaan baru mulai menyebar ke seluruh Timur Tengah. Ajaran nabi Muhammad mengilhami kerajaan islam yang luas dan kuat yang segera membentang dari India di timur sampai Maroko Barat. Sebuah perpustakaan besar dan pusat belajar didirikan di Baghdad. Disebut Rumah Kebijaksanaan, ajarannya menyebar ke seluruh kerajaan Islam. Pemimpin Gedung Kebijaksanaan di Baghdad adalah seorang sarjana Persia disebut Muhammad Al-Khwarizmi adalah seorang matematikawan yang luar biasa yang bertanggung jawab untuk memperkenalkan  dua konsep matematika kunci ke Barat. Al-Khwarizmi telah berhasil menciptakan bahasa baru dalam matematika yang kita kenal dengan aljabar, temuannya ini ditulis dalam bukunya yang berjudul Al-jabr W’al-Muqabala. Terobosan besar al-Khwarizmi datang ketika ia diterapkan aljabar untuk persamaan kuadrat. Matematikawan selanjutnyayaitu Omar Khayyam, menemukan metode umum yang dapat memecahkan semua persamaan kubik.

Selama berabad-abad dimana Cina, India dan kerajaan islam telah berkuasa, eropa jatuh dibawah bayangan zaman kegelapan. Semua kehidupan intelektual, termasuk matematika telah mengalami stagnansi. Tetapi pada abd ke-13, hal ini mulai berubah. Dibawah pimpinan Italia, Eropa mulai megeksploitasi perdagangan dengan wilayah Timur. Dengan terbukanya hubungan inilah maka terjadi perpindahan perkembangna matematika. Leonardo of Pisa atau lebih dikenal Fibonacci mempromosikan sistem nomor baru, sistem penomoran Eropa yang dirasa lebih mudah dan sederhana. Namun sistem penomoran ini akhirnya masih terkalahkan dengan sistem penomoran Hindu-Arab. Fibonacci juga menemukan deret Fibonacci, yang muncul ketika ia mencoba untuk memecahkan teka-teki tentang kebiasaan kawin kelinci.  Terobosan besar Eropa berikutnya dalam matematika tidak terjadi sampai awal abd 16, hingga ditemukannya metode umum memecahkan semua persamaan kubik, dan ini terjadi di kota Bologna Italia. Universitas Bologna merupakan wadah pemikiran matematika Eropa pada awal abad ke-16. Murid dari seluruh Eropa berkumpul di sini dan mengembangkan bentuk baru dari kompetisi matematika. Tartaglia merupakan ilmuwan Italia yang berhasil menyelesaikan satu jenis persamaan kubik, tapi dia tahu bahwa bukan dia satu-satunya orang yang bisa memecahkan persoalan ini. Fior seorang pemuda Italia menyebut dirinya juga memegang formula rahasia memecahkan persamaan kubik. Saat berita tentang penemuan yang dibuat oleh ahli matematika ini, maka pertandingan intelektual pun terjadi. Masalah muncul karena Tartaglia hanya mampu menyelesaikan satu jenis persaman kubik saja , dan Fior siap menantangnya. Namun, dalam beberapa hari sebelum kontes, Tartaglia telah berhasil menemukan cara memecahkan semua jenis persamaan kubik. Cordano, seorang matematikawan di Milan membujuk Tartaglia agara mau mengungkapakn rahasia penemuannya, namun Tartaglia enggan mengungkapkan rahasianya, tetapi dengan syarat Cordano akan menyimpan rahasia dan tidak mempublikasikannya. Namun, dengan terpaksa Cordano menyalahi janjinya ketika ia bertemu dengan murid briliannya yaitu Ferrari. Cordano membahas semua semua rahasia penyelesaian persamaan kubik pada Ferrari. Bersama Ferrari Cordano telah memecahkan persamaan quartic. Tartaglia tidak pernah sembuh dari penyakitnya dan meninggal tanpa uang sepeser pun, dan sampai hari ini, rumus yang memecahkan persamaan kubik itu dikenal sebagai rumus Cardano. Tartaglia mungkin tidak memenangkan kemuliaan dalam hidupnya, tetapi matematikanya berhasil memecahkan masalah yang membingungkan para ahli matematika besar Cina, India dan dunia Arab. Itu adalah terobosan besar matematika pertama terjadi di Eropa modern. Orang-orang Eropa sekarang memiliki bahasa baru dari aljabar, teknik yang kuat dari Hindu angka Arab dan awal dari penguasaan yang tak terbatas. Sudah waktunya bagi dunia Barat untuk mulai menulis cerita sendiri matematika dalam bahasa Timur. Untuk memulai revolusi matematika.